Suites arithmétiques et géométriques

icone Fiche
Tests
Parmi les suites de nombres, les suites arithmétiques et géométriques sont les plus naturelles. Dans le premier cas on passe d'un nombre au suivant en additionnant, dans le second cas en multipliant.
Ces suites correspondent à des modèles de placements financiers. Si on place un capital à intérêts simples, les valeurs acquises à intervalles de temps réguliers, définissent une suite arithmétique. Dans le cas d'un placement à intérêts composés, les valeurs acquises définissent une suite géométrique.
1. Qu'est-ce qu'une suite arithmétique ?
Une suite est arithmétique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en additionnant le même nombre (la raison).
Notation : (U_{n}) \begin{cases} U_{1} \tabularnewline U_{n+1}=U_{n}+r \end{cases}
Écriture du terme général :
  • si le premier terme est noté U1 : Un = U1 + (n − 1) × r ;
  • si le premier terme est noté U0 : Un = U0 + n × r.
Somme des n premiers termes :
U1 + U2 + U3 + … + Un = \frac{(U_{1}+U_{n})\times{n}}{2}.
(On multiplie la moyenne du premier et du dernier terme par le nombre de termes.)
Exercice n°1
2. Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?
Une suite est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant par le même nombre (la raison).
Notation : (U_{n}) \begin{cases} U_{1} \tabularnewline U_{n+1}=U_{n}\times q\quad{(q\neq{1})} \end{cases}
Écriture du terme général :
  • si le premier terme est noté U1 : Un = U1 × qn − 1 ;
  • si le premier terme est noté U0 : Un = U0 × qn.
Somme des n premiers termes :
U1 + U2 + U3 + … + Un = U1 × \frac{1-q^{n}}{1-q}.
Exercice n°2
3. Comment calculer des intérêts simples ?
Les intérêts sont simples lorsqu'ils ne s'ajoutent pas au capital pour produire d'autres intérêts.
Le montant des intérêts pour un capital C, à un taux périodique t durant n périodes, est donné par la formule : i = C × t × n.
La valeur acquise au bout de n périodes est donnée par la formule : Vn = C + i × n.
Les valeurs acquises Vn forment une suite arithmétique de premier terme C et de raison i.
Exercice n°3
4. Comment calculer des intérêts composés ?
Les intérêts composés se capitalisent. Ils s'ajoutent au capital pour produire à leur tour des intérêts.
La valeur acquise, pour un taux périodique t, au bout de n périodes est donnée par la formule :
Cn = C × (1 + t)n.
Les valeurs acquises Cn forment une suite géométrique de raison 1 + t.
Le montant des intérêts est donné par la formule : i = Cn − C.
Exercice n°4Exercice n°5
5. Quand doit-on appliquer la formule d'actualisation ?
Pour savoir si un investissement est rentable, on calcule la valeur des dépenses et des recettes le jour de la négociation. On dit qu'on actualise les dépenses et les recettes.
L'investissement est rentable si les premières sont inférieures aux secondes.
• Si t est le taux périodique et n le nombre de périodes séparant la date de négociation de la date d'échéance, on applique la formule :
V=\frac{C_{n}}{(1+t)^{n}} (Cn désigne le montant à échéance).
• Dans le cas de n versements réguliers d'un montant a, le premier débutant une période après le jour de la négociation, la valeur actuelle V du total des versements, le jour de la négociation, est donné par la formule :
V=a\times\frac{1-(1+t)^{-n}}{t}.
Le montant d'un versement est donné par la formule :
a=\frac{V\times{t}}{1-(1+t)^{-n}}.
Exercice n°6Exercice n°7
6. Qu'est-ce qu'un tableau d'amortissement ?
Un tableau d'amortissement donne les détails du remboursement d'un emprunt. On y fait figurer le capital dû, le montant des remboursements, les intérêts, les amortissements, c'est-à-dire les remboursements en capital.
• On appelle amortissement est la différence entre le montant de l'échéance et le montant des intérêts.
Les amortissements constituent une suite géométrique de raison 1 + t, t étant le taux d'intérêt. Leur somme est égale au montant de l'emprunt.
• Le capital dû en fin de période est la différence entre le capital dû en début de période et l'amortissement.
Exercice n°8
À retenir
Il faut connaître les formules donnant le n-ième terme et la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique :
  • écriture du terme général : Un = U1 + (n − 1) × r ;
  • somme des n premiers termes : U1 + U2 + … + Un = \frac{U_{1}+U_{n}}{2}\times{n}.
De même pour une suite géométrique :
  • écriture du terme général : Un = U1 × qn − 1 ;
  • somme des n premiers termes : U1 + U2 + … + Un = U_{1}\times\frac{1-q^{n}}{1-q}.
Il faut savoir calculer les valeurs acquises lors d'un placement à intérêts simples : Cn = C + C × t × n ou lors d'un placement à intérêts composés : Cn = C × (1 + t)n.
Il faut savoir calculer la valeur actuelle d'une série de versements réguliers d'un montant constant a : V=a\times\frac{1-(1+t)^{-n}}{t} et le montant d'un versement : a=\frac{V\times{t}}{1-(1+t)^{-n}}.
Et ne pas oublier que, dans un tableau d'amortissement, le capital dû en fin de période est la différence entre le capital dû en début de période et l'amortissement sur la période.