Proportions, pourcentages et indices

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Les restaurateurs souhaitent voir baisser le taux de TVA qui leur est appliqué… L'Éducation nationale a pour objectif de faire parvenir 80 % d'une classe d'âge au niveau du baccalauréat… Les consommateurs suivent attentivement l'évolution de l'indice des prix à la consommation…
Pourcentages et indices font partie de notre vie quotidienne. Comprendre leur fonctionnement nous aide à mieux appréhender le monde qui nous entoure.
1. Comment calculer une proportion ?
La proportion d'une sous-population d'effectif m, dans une population d'effectif n, est donnée par la formule :
f=\frac{m}{n}.
En multipliant le quotient obtenu par 100, on exprime cette proportion en pourcentage.
Exercice n°1
2. Comment calculer un taux d'évolution ?
Le taux d'évolution d'une quantité évoluant de la valeur V0 à la valeur V1, est donné par la formule : t=\frac{V_{1}-V_{0}}{V_{0}}\times{100}.
  • Lorsque V1 est supérieur à V0 : il s'agit d'une hausse, t est alors positif.
  • Lorsque V1 est inférieur à V0 : il s'agit d'une baisse, t est alors négatif.
Exercice n°2
3. Comment calculer directement la valeur acquise par une quantité après une hausse ou une baisse en pourcentage ?
Pour augmenter de t %, on multiplie par le coefficient :
c=(1+\frac{t}{100}).
Pour diminuer de t %, on multiplie par le coefficient :
c=(1-\frac{t}{100}).
Lorsque le taux t est proche de 0, on peut utiliser les formules d'approximation suivantes :
(1+t)^{2}\approx{1}+2t ;
\frac{1}{1+t}\approx{1-t} ;
\sqrt{1+t}\approx1+\frac{1}{2}t.
Dans le cas d'évolutions successives de coefficients multiplicateurs c et c', le pourcentage global d'évolution est donné par le coefficient cG tel que :
cG = c × c'.
On en déduit le taux tG correspondant en soustrayant 1 et en multipliant par 100 :
tG = (cG − 1) × 100.
Exercice n°3
4. Qu'est-ce que le taux moyen ?
Le taux moyen de deux évolution successives, de coefficients multiplicateurs c et c', correspond à un coefficient multiplicateur cM défini par :
c_\mathrm{M}=\sqrt{c\times{c^{\prime}}}.
Le taux moyen tM est alors calculé en soustrayant 1 et en multipliant par 100 :
tM = (cM − 1) × 100.
Si tM est négatif, il s'agit d'une baisse, si tM est positif, il s'agit d'une hausse.
Exercice n°4
5. Quand dit-on que deux taux sont réciproques ?
Deux taux sont réciproques lorsque le produit de leurs coefficients multiplicateurs c et c' vérifie :
c × c' = 1.
Une augmentation de t % doit être suivie d'une diminution de t' % telle que :
t^{\prime}=\frac{100}{1+\frac{100}{t}}.
Une diminution de t % doit être suivie d'une augmentation de t' % telle que :
t^{\prime}=\frac{100}{\frac{100}{t}-1}.
Exercice n°5
6. Comment calculer ou interpréter un indice ?
Si un prix P0 à l'époque t0 passe à une valeur P1 à l'époque t1, son indice à l'époque t1, pour une base 100 à l'époque t0, sera :
I_{1/0}=\frac{P_{1}}{P_{0}}\times{100}.
7. Qu'est-ce que la TVA ?
La taxe à la valeur ajoutée est un impôt indirect sur la consommation. Son taux normal est de 19,6 %. Son taux réduit est de 5,5 %.
Le prix hors taxes (HT) est le prix sans la TVA. Le prix toutes taxes comprises (TTC) est le prix de vente TVA incluse.
Exercice n°7
À retenir
Pour calculer le taux de variation t d'une quantité, il faut diviser sa variation absolue V1 − V0 par sa valeur initiale V0 :
t=\frac{V_{1}-V_{0}}{V_{0}}\times{100}.
S'il y a plusieurs variations successives, on ne calcule pas à chaque fois la hausse ou la baisse. On multiplie par (1 + \frac{t}{100}) dans le cas d'une hausse de t %, ou par (1 − \frac{t}{100}) dans le cas d'une baisse de t %.
Pour calculer un indice, on fixe la valeur initiale de l'indice à 100. La valeur finale est alors donnée par la formule :
t=\frac{V_{1}}{V_{0}}\times{100}.