Optimisation à deux variables

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Le fonctionnement d'une entreprise doit respecter un certain nombre de contraintes : quantités disponibles de matières premières, temps de travail des salariés, volume de la demande, etc.
Dans le respect de ces contraintes, elle doit réaliser le coût minimal et le bénéfice maximal, afin d'être compétitive.
1. Par quelles inéquations caractériser les demi-plans limités par une droite ?
• Les points M(x ; y) du plan tels que y inférieur ou égal mx + p sont situés dans le demi-plan placé au-dessous de la droite d'équation y = mx + p.
• Les points M(x ; y) du plan tels que x inférieur ou égal a sont situés dans le demi-plan placé à gauche de la droite verticale d'équation x = a.
• Les points M(x ; y) du plan tels que ax + by inférieur ou égal c (a et b non nuls simultanément) sont situés dans un demi-plan limité par la droite d'équation ax + by = c.
Si c\neq{0}, pour savoir quel est le bon côté, on teste l'inégalité en remplaçant x et y par les coordonnées de l'origine du repère (0 ; 0).
Si c = 0, on remplace x et y par les coordonnées d'un autre point, n'appartenant pas à la droite.
Lorsque l'inégalité est au sens large, la droite frontière est comprise ; si elle est stricte, la droite frontière est exclue.
Pour définir l'autre demi-plan, il suffit de changer le sens de l'inégalité.
Exercice n°1
2. Comment résoudre graphiquement un système d'inéquations du premier degré à deux inconnues ?
Pour déterminer la zone du plan correspondant à un système d'inéquations du premier degré à deux inconnues, on trace d'abord les droites correspondant aux équations.
Ensuite, on détermine pour chaque droite frontière le demi-plan qui convient en observant si l'origine O du repère (ou tout autre point) satisfait ou non à l'inéquation correspondante.
Par convention, on hachure chaque fois le demi-plan qui ne convient pas. La zone solution est la zone qui n'est pas du tout hachurée.
Exercice n°2
3. Comment établir un système d'inéquations correspondant à des contraintes ?
À partir de l'énoncé, on définit la nature des contraintes et on reporte les valeurs numériques sur un tableau à double entrée.
À chaque contrainte correspond une inéquation. Pour chacune, on réfléchit afin de savoir s'il s'agit d'une contrainte par minimum ou par maximum.
Les inconnues, désignées la plupart du temps par x et y, correspondent à des quantités. Ce sont donc nécessairement des nombres positifs. Il ne faut donc pas oublier d'ajouter les conditions : x supérieur ou égal 0 et y supérieur ou égal 0. Si ce sont des nombres entiers, on précisera : x \in Ensemble N et y \in Ensemble N.
Exercice n°3
4. Comment optimiser la valeur d'une quantité sur une zone du plan ?
Étudions l'exemple suivant.
Les points A, B et C du dessin précédent ont pour coordonnées : A(1 ; 1), B(3 ; 2) et C(1,5 ; 4).
L'ensemble des valeurs x et y, vérifiant l'équation 4x + 3y = 12, correspond aux points de la droite passant par les points (3 ; 0) et (0 ; 4).
Cette droite coupe le triangle ABC. Appelons-la Q12.
L'ensemble des droites d'équation 4x + 3y = Q constitue une famille de droite parallèles que l'on peut écrire sous forme réduite : y=-\frac{4}{3}x+\frac{Q}{3}.
La quantité Q est maximale sur la zone triangulaire fermée ABC, c'est-à-dire côtés compris, lorsque la parallèle à la droite Q12 coupe l'axe des ordonnées le plus haut possible.
D'après le dessin, il faut que cette parallèle passe par l'un des points de segment [BC].
Alors : Qmax = 4 × 1,5 + 3 × 4 = 18.
De même, la droite correspondant au minimum de Q sur la zone triangulaire fermée ABC passe par le point A(1 ; 1).
Donc Qmin =  4 × 1 + 3 × 1 = 7.
Exercice n°4
À retenir
Résoudre un système d'inéquations du premier degré à deux inconnues, c'est rechercher les demi-plans correspondant à chaque inéquation.
Pour optimiser un coût ou un bénéfice, on trace la droite correspondant à une valeur particulière, puis on construit la parallèle qui coupe la zone des contraintes le plus bas possible dans le cas d'un coût, ou le plus haut possible dans le cas d'un bénéfice. Les coordonnées du point le plus extrême de la zone des contraintes correspondent aux valeurs entraînant le coût minimal ou le bénéfice maximal.