Généralités sur les fonctions

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Par calcul, ou lecture graphique, il faut savoir préciser le sens de variation d'une fonction, déterminer le minimum d'une fonction coût, le maximum d'une fonction bénéfice, indiquer l'intervalle de rentabilité d'une production.
Par ailleurs, de nombreuses équations ou inéquations complexes ne peuvent être résolues facilement par le calcul. Seule la lecture graphique permet d'en donner les solutions exactes ou approchées.
1. Comment reconnaître le sens de variation d'une fonction sur un intervalle ?
L'ensemble de définition d'une fonction f est l'ensemble des nombres réels pour lesquels l'image f(x) existe.
Sur cet ensemble on peut définir des intervalles sur lesquels cette fonction est toujours croissante, toujours décroissante ou toujours constante.
• Une fonction f est croissante sur un intervalle [a ; b] lorsqu'elle conserve l'ordre.
Pour a inférieur ou égal x1 < x2 inférieur ou égalb, si f(ainférieur ou égal f(x1) < f(x2inférieur ou égal  f(b) alors f est croissante sur [a ; b].
• Une fonction f est décroissante sur un intervalle [a ; b] lorsqu'elle inverse l'ordre.
Pour a inférieur ou égal x1 < x2 inférieur ou égal b, si f(asupérieur ou égal f(x1) > f(x2supérieur ou égal  f(b) alors f est décroissante sur [a ; b].
• Une fonction f est constante sur un intervalle [a ; b] lorsque les image sont égales.
Pour a inférieur ou égal x inférieur ou égal b, si f(a) = f(x) =  f(b) alors f est constante sur [a ; b].
Exercice n°1Exercice n°2
2. Où lire les solutions d'une équation ou d'une inéquation ?
Les solutions des équations et inéquations se lisent sur l'axe des abscisses.
Équations :
  • les solutions de l'équation f(x) = a sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentant f avec la droite horizontale d'équation y = a ;
  • les solutions de l'équation f(x) = g(x) sont les abscisses des points d'intersection de la courbe représentant f avec la courbe représentant g.
Inéquations :
  • les solutions de l'inéquation f(xinférieur ou égal a sont les abscisses des points de la courbe représentant la fonction f qui sont placés au-dessous de la droite horizontale d'équation y = a ;
  • les solutions de l'inéquation f(xinférieur ou égal g(x) sont les abscisses des points de la courbe représentant f qui sont situés au-dessous de la courbe représentant la fonction g.
Exercice n°3Exercice n°4
3. Où lire la valeur minimale d'un coût, la valeur maximale d'un bénéfice, un intervalle de rentabilité ?
Le coût minimal et le bénéfice maximal se lisent sur l'axe des ordonnées. Ils correspondent respectivement à la position la plus basse et à la position la plus haute de la courbe représentant la fonction.
Une production est rentable lorsque la recette est supérieure au coût. L'intervalle de rentabilité est l'intervalle de l'axe des abscisses sur lequel la courbe de la recette est au-dessus de la courbe du coût.
Dans le cas d'une fonction bénéfice, on cherche l'intervalle de l'axe des abscisses sur lequel la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses.
Exercice n°5
À retenir
Une fonction croissante conserve l'ordre alors qu'une fonction décroissante l'inverse.
Résoudre graphiquement l'équation f(x) = k, c'est chercher, dans l'ensemble de définition de f, les abscisses des points d'intersection de la courbe d'équation y = f(x), avec la droite horizontale d'équation y = k.
Résoudre graphiquement l'inéquation f(xinférieur ou égal k, c'est chercher, dans l'ensemble de définition de f, les abscisses des points de la courbe d'équation y = f(x) qui sont placés au-dessous de la droite horizontale d'équation y = k.
L'intervalle de rentabilité d'une production, c'est l'ensemble des valeurs de l'axe des abscisses pour lesquelles la courbe de la recette est au-dessus de la courbe du coût. Sur cet intervalle la courbe de la fonction bénéfice doit être au-dessus de l'axe des abscisses.