Fonctions exponentielles

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Les fonctions exponentielles sont des fonctions pour lesquelles la variable apparaît en exposant ; elles comportent la notation ax, a étant un nombre réel. Parmi celles-ci, on privilégie la fonction f, définie sur ]-\infty ; +\infty[, par f(x) = ex, où e est un nombre irrationnel de même nature que π, e \approx 2,72.
Ces fonctions sont utilisées comme modèle d'évolution financière. Par exemple, la valeur acquise par un capital placé à intérêts composés est une fonction exponentielle de la durée.
Par ailleurs, lorsqu'un ajustement affine n'est pas possible pour un nuage de points, on peut trouver un ajustement acceptable par une fonction exponentielle.
1. Quelles sont les caractéristiques de la fonction exponentielle de base e ?
La fonction exponentielle de base e, notée f(x)=\mathrm{e}^{x}, est définie pour toute valeur de x.
Elle est croissante de 0 à +\infty, donc toujours positive.
D'où son tableau de variation :
Elle a pour dérivée elle-même : (\mathrm{e}^{x})^{\prime}=\mathrm{e}^{x}.
Pour une fonction composée, on obtient : (\mathrm{e}^{u})^{\prime}=(\mathrm{e}^{u})\times{u^{\prime}}.
Comme l'exponentielle est toujours positive, sa représentation graphique est au-dessus de l'axe des abscisses.
C'est un cas particulier d'écriture à exposant réel, elle vérifie donc les égalités :
e0 = 1 ;
\mathrm{e}^{a}\times{\mathrm{e}^{b}}=\mathrm{e}^{a+b}, en particulier : \mathrm{e}^{2a}=\mathrm{e}^{a}\times{\mathrm{e}^{a}} ;
(\mathrm{e}^{a})^{b}=\mathrm{e}^{a\times{b}} ;
\frac{\mathrm{e}^{a}}{\mathrm{e}^{b}}=\mathrm{e}^{a-b}, en particulier : \frac{1}{\mathrm{e}^{a}}=\mathrm{e}^{-a}.
Exercice n°1Exercice n°2
2. Quelles sont les propriétés de la notation exponentielle ?
Les courbes d'équations y = ex (C), que l'on note aussi y = exp(x), et y = ln(x) (C') sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x (D).
Tout point M(x0 ; ln x0) de (C) a donc pour symétrique, par rapport à (D), le point N(ln x0 ; x0) de (C').
Alors : \mathrm{e}^{\ln\,x}=x (pour x > 0).
Le point P(x0 ; \mathrm{e}^{x_{0}}) de (C') a donc pour symétrique, par rapport à (D), le point Q(\mathrm{e}^{x_{0}} ; x0).
Alors : ln (\mathrm{e}^{x})=x (pour x, nombre réel quelconque).
Ces deux égalités sont indispensables pour résoudre des équations dans lesquelles figurent la notation logarithme ou la notation exponentielle.
Exercice n°3Exercice n°4
3. Quelles sont les caractéristiques des fonctions exponentielles de base a (a > 0) ?
Les fonctions exponentielles de base a, c'est-à-dire de la forme f(x) = ax, sont des cas particuliers des fonctions exponentielles de base e, car y = ax équivaut à ln y = ln ax, soit ln y = x ln a, ou encore \mathrm{e}^{\ln\,y}=\mathrm{e}^{x\,\ln\,a}.
D'où : y = ax équivaut à y=\mathrm{e}^{x\,\ln\,a} (pour a > 0). (Comme la fonction logarithme n'est définie que pour les valeurs positives de la variable, il est nécessaire que a soit strictement positif.)
La dérivée se note alors :
(\mathrm{e}^{x\,\ln\,a})^{\prime}=\ln\,a\times{\mathrm{e}^{x\,\ln\,a}}, donc (a^{x})^{\prime}=\ln\,a\times{a^{x}}.
Comme l'exponentielle est toujours positive, quelque soit le signe de l'exposant, le sens de variation dépend uniquement du signe de ln a :
  • si 0 < a < 1, alors ln a < 0 et \ln\,a\times{\mathrm{e}^{x\,\ln\,a}} < 0. La dérivée est négative et la fonction est décroissante ;
  • si a > 1, alors ln a > 0 et \ln\,a\times{\mathrm{e}^{x\,\ln\,a}} > 0. La dérivée est positive et la fonction est croissante ;
  • si a = 1, on obtient 1x = 1, la fonction est constante.
Les représentations graphiques auront donc des allures différentes, suivant que a sera inférieur ou supérieur à 1 :
4. Comment effectuer l'ajustement d'un nuage de points par une fonction exponentielle ?
Lorsque le coefficient de corrélation linéaire d'une série statistique à deux variables est trop éloigné de 1, les points du nuage Mi(xi ; yi) ne sont pas toujours suffisamment proches de l'alignement pour pouvoir effectuer un ajustement par une droite.
On peut alors chercher si le nuage Mi(xi ; ln yi) a un coefficient de corrélation acceptable.
Si c'est le cas, en posant z = ln y, on obtient un ajustement affine de la forme : z = ax + b, ou ln y = ax + b.
En appliquant l'exponentielle aux deux membres de cette égalité, on obtient une fonction de la forme : y = eax + b, soit encore  y = eax × eb ou y = k × eax.
Exercice n°7Exercice n°8Exercice n°9
À retenir
La fonction f, définie sur ]-\infty ; +\infty[, par f(x)=\mathrm{e}^x est croissante de 0 à +\infty, donc toujours positive.
Elle a pour dérivée : (\mathrm{e}^{x})'=\mathrm{e}^{x} et pour une fonction composée : (\mathrm{e}^{u})^{\prime}=(\mathrm{e}^{u})\times{u^{\prime}}.
Les formules la reliant à la fonction logarithme népérien sont : \mathrm{e}^{\ln\,x}=x (pour x > 0) et ln (\mathrm{e}^{x})=x (pour tout nombre réel x).
Pour une fonction exponentielle de base a : y=a^{x} équivaut à y=\mathrm{e}^{x\,\ln \,a} (pour a > 0).
Si ln y = ax + b alors on peut écrire : y = k × eax (k, a, b et x étant des nombres réels).