Fonction logarithme népérien

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Tests
Pour déterminer au bout de combien de temps un capital de 1 000 euros, placé à 5 % l'an à intérêts composés, aura doublé, il faut résoudre l'inéquation : 1 000 × 1,05x supérieur ou égal 2 000.
La fonction logarithme népérien permet de résoudre une telle inéquation, où la variable x apparaît en exposant. Plus généralement, la fonction logarithme népérien est une nouvelle fonction de référence. On pourra ainsi l'utiliser en association avec d'autres fonctions de référence. De telles fonctions s'appellent des fonctions logarithmes.
1. Comment calcule-t-on le logarithme népérien d'un nombre ?
Ce logarithme correspond à la touche « ln » de la calculatrice et ne s'applique qu'à des nombres réels strictement positifs.
Exercice n°1Exercice n°2
2. Quelles sont les caractéristiques de la fonction logarithme népérien ?
La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ; +\infty[, par f(x) = ln x. Elle est croissante sur cet intervalle.
Sa dérivée s'écrit : (\ln\,x)'=\frac{1}{x} (x > 0).
Composée avec une fonction u on a : (\ln\,u)'=\frac{u'}{u} (u > 0).
Sa représentation graphique coupe l'axe des abscisses en x = 1. Sur l'intervalle ]0 ; 1], elle est au-dessous de l'axe des abscisses, donc la fonction est négative ; sur l'intervalle [1 ; +\infty[, elle est au-dessus et la fonction est positive.
3. Quelles sont les propriétés de la notation ln ?
Le logarithme du produit de deux nombres strictement positifs est la somme de leurs logarithmes : pour x > 0 et y > 0, ln (x × y) = ln x + ln y.
On en déduit pour n facteurs strictement positifs identiques : si x > 0 et n entier, alors ln xn = n × ln x.
Le logarithme du quotient de deux nombres strictement positifs est la différence de leurs logarithmes :
pour x > 0 et y > 0, \ln\, \frac{x}{y}=\ln\,x-\ln\,y.
Exercice n°5Exercice n°6
À retenir
La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ; +\infty[, par f(x) = ln x.
Sa dérivée s'écrit : (\ln\,x)'=\frac{1}{x} (x > 0). La fonction ln est donc croissante sur cet intervalle.
Pour une fonction composée : (\ln\, u)'=\frac{u'}{u} (u > 0).
Pour x > 0 et y > 0, ln (x × y) = ln x + ln y et \ln\, \frac{x}{y}=\ln\,x-\ln\,y.
Si x > 0 et n entier, alors ln xn = n × ln x.