Fonction dérivée

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En classe de première on a établi que le coefficient directeur de la tangente en un point d'une courbe représentait le nombre dérivé de la fonction en ce point.
La fonction dérivée est la fonction qui donne ce coefficient directeur en tout point de l'ensemble de définition de la fonction.
Il faut donc connaître les fonctions dérivées des fonctions de référence étudiées les années passées et pouvoir généraliser à d'autres fonctions.
Le signe de ce coefficient directeur indique si, localement, la fonction est croissante ou décroissante.
La recherche d'une valeur de la variable qui annule cette fonction dérivée permet de déterminer un minimum ou un maximum de cette fonction.
1. Comment déterminer le nombre dérivé ?
Le nombre dérivé, pour la valeur x0 de l'ensemble de définition d'une fonction f, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant f au point (x0 ; f(x0)).
Prenons l'exemple de la parabole d'équation y = x2.
Au point (1 ; 1), la tangente a comme coefficient directeur 2, car pour relier les points (1 ; 1) et (2 ; 3) de cette droite, il faut se déplacer d'une unité vers la droite et 2 unités vers le haut.
On dit que 2 est le nombre dérivé de la fonction f, définie par f(x) = x2, en x = 1.
Exercice n°1Exercice n°2Exercice n°3
2. Quelles sont les fonctions dérivées à connaître ?
La fonction dérivée est la fonction qui donne le nombre dérivé en tout point de l'ensemble de définition de la fonction.
Il faut connaître les dérivées des fonctions de référence :
  • fonction affine : si f(x) = ax + b, alors f'(x) = a ;
  • fonction carré : si f(x) = x2, alors f'(x) = 2x ;
  • fonction cube : si f(x) = x3, alors f'(x) = 3x2 ;
  • fonction inverse : si f(x)=\frac{1}{x}, alors pour x\neq{0}, f'(x)=\frac{-1}{x^{2}} ;
  • fonction racine : si f(x)=\sqrt{x}, alors pour x > 0, f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Il faut connaître les dérivées des fonctions composées :
  • fonction somme : (u + v)' = u' + v' ;
  • fonction produit par un nombre réel : (k × u)' = k × u' ;
  • fonction produit : (u × v)' = u' × v + u × v' ;
  • fonction rationnelle : (\frac{u}{v})'=\frac{u'\times{v}-v'\times{u}}{v^{2}} ;
  • fonction puissance : (un)' = n × un−1 × u'.
En remplaçant u et v par des fonctions de référence, on peut alors élargir la gamme des fonctions dont on peut calculer la dérivée.
Exercice n°4Exercice n°5
3. Comment déduire le sens de variation d'une fonction du signe de sa dérivée ?
Au voisinage du point de contact, la tangente est pratiquement confondue avec la courbe.
Si le coefficient directeur de cette tangente est positif, la courbe sera alors orientée vers le haut et la fonction sera croissante. Dans le cas contraire, la courbe sera orientée vers le bas et la fonction sera décroissante.
On retiendra :
  • si la dérivée d'une fonction est positive sur un intervalle, alors la fonction est croissante sur cet intervalle ;
  • si la dérivée d'une fonction est négative sur un intervalle, alors la fonction est décroissante sur cet intervalle ;
  • si la dérivée d'une fonction est nulle sur un intervalle, alors la fonction est constante sur cet intervalle.
Exercice n°6Exercice n°7
À retenir
Le nombre dérivé pour x = x0 est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point (x0 ; f(x0)).
La fonction dérivée donne le nombre dérivé :
(ax + b)' = a ;   (x2)' = 2x ;
(x3)' = 3x2 ;   (\frac{1}{x})'=\frac{-1}{x^{2}} (x\neq0).
(u + v)' = u' + v' ;   (k × u)' = k × u' ;
(u ×v)' = u' × v + u × v' ;   (\frac{u}{v})'=\frac{u'\times{v}-v'\times{u}}{v^{2}}.
Le sens de variation d'une fonction dépend du signe de sa dérivée. S'il est positif, la fonction est croissante, s'il est négatif, elle est décroissante, s'il est nul elle est constante.