Exposants réels

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Pour connaître la valeur marchande d'un matériel, dont la cote baisse régulièrement de 2 % par an, il faut multiplier son prix initial par 0,98x, où x désigne le nombre d'années écoulées depuis son acquisition. La variable x peut désigner des fractions d'années, donc n'est pas nécessairement un nombre entier.
Ainsi apparaissent des cas pratiques de puissances à exposants réels. Leurs propriétés sont identiques à celles des exposants entiers vues au collège.
1. Quelles sont les égalités à connaître ?
Pour a et b, nombres réels strictement positifs, on peut généraliser les propriétés des puissances avec des exposants entiers à des exposants x et y, nombres réels quelconques.
  • Une puissance de 1 est toujours égale à 1 : 1x = 1
  • Pour multiplier deux puissances d'un même nombre, on ajoute les exposants : ax × ay = ax + y.
  • Prendre l'inverse d'une puissance, c'est transformer l'exposant en son opposé : \frac{1}{a^{x}}=a^{-x}.
  • Pour effectuer le quotient de deux puissances d'un même nombre, on soustrait les exposants : \frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}.
  • Pour élever une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants : (a^{x})^{y}=a^{x\times{y}}.
  • Pour élever un produit de facteurs à une puissance, on élève chaque facteur à cette puissance : (a × b)x = ax × bx.
  • Pour élever un quotient à une puissance, on élève chaque facteur à cette puissance : (\frac{a}{b})^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}.
Exercice n°1
2. Comment résoudre une équation de la forme yn = a ?
Soient a un nombre réel positif et n un nombre entier positif.
Si y^{n}=a, alors (y^{n})^{\frac{1}{n}}=(a)^{\frac{1}{n}}, d'où : y=a^{\frac{1}{n}}.
Pour n = 2, élever a à la puissance \frac{1}{2} équivaut à extraire la racine carré.
Plus généralement, élever à la puissance \frac{1}{n} équivaut à extraire la racine n-ième.
Exercice n°2
3. Comment calculer le taux d'évolution moyen d'une grandeur sur n années ?
Supposons qu'une quantité varie sur n années de différents taux, soit à la hausse, soit à la baisse. Le taux d'évolution moyen est alors le taux unique t qui, répété n fois, fournirait le même taux global tG.
On a donc l'égalité : (1 + t)n = 1 + tG, d'où : 1+t=(1+t_\mathrm{G})^{\frac{1}{n}}.
Exercice n°3
4. Comment résoudre une inéquation de la forme ax inférieur ou égal k ?
Soient a et k deux nombres réels strictement positifs et x est un nombre réel quelconque.
Si ax inférieur ou égal k, on a x ln a inférieur ou égal ln k, alors :
  • pour 0 < a < 1, on en déduit : x\geq{\frac{\ln\,k}{\ln\,a}};
  • pour a > 1, on en déduit : x\leq{\frac{\ln\,k}{\ln\,a}}.
Exercice n°4
5. Comment déterminer la limite d'une suite géométrique de termes positifs ?
Une suite géométrique (Un) de termes positifs tend vers 0 lorsque, pour tout nombre réel positif aussi petit que l'on veut, on peut toujours trouver un terme de la suite qui lui soit inférieur.
Plus directement, une suite géométrique a pour limite 0 en +\,\infty, lorsque sa raison est comprise entre 0 et 1.
On note : \mathop {\lim}\limits_{x \to +\infty }U_{n}=0.
Une suite géométrique (Un) de termes positifs tend vers +\,\infty lorsque, pour tout nombre réel positif aussi grand que l'on veut, on peut toujours trouver un terme de la suite qui lui soit supérieur.
Plus directement, une suite géométrique a pour limite + \infty en + \infty lorsque sa raison est supérieure à 1.
On note : \mathop {\lim}\limits_{x \to +\infty }U_{n}=+\infty.
Exercice n°5
À retenir
Les propriétés sont les mêmes pour les exposants réels ou entiers :
ax × ay = ax + y ;   \frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y} ;   (ax)y = a^{x\times{y}} ;   (a × b)x = ax × bx.
Si yn = a, alors (y^{n})^{\frac{1}{n}}\,=\,(a)^{\frac{1}{n}}, d'où : y = a^{\frac{1}{n}}.
Si ax inférieur ou égal k et 0 < a inférieur ou égal 1, alors x\ge\frac{\ln k}{\ln a} ;   si axinférieur ou égalk et a > 1, alors : x\le{\frac{\ln k}{\ln a}}.
Si (Un) est une suite géométrique de raison comprise entre 0 et 1, alors \mathop {\lim} \limits_{n \to +\infty }U_{n}=0.
Si sa raison est supérieure à 1, alors \mathop {\lim}\limits_{n \to +\infty }U_{n}=+\infty.