Authenticité de billets de banque

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Énoncé

À l'aide d'une machine, un supermarché contrôle l'authenticité de 2 000 billets de banque. Les coupures de 20 € représentent 40 % de l'ensemble des billets contrôlés.
On a détecté 5 fausses coupures. Les billets de 20 € représentent 60 % des fausses coupures.

1. Reproduire et compléter le tableau suivant. Faire figurer le détail des calculs sur votre copie.

	Billets falsifiés	Billets authentiques	Total
Coupure de 10 €		600
Coupure de 20 €
Coupure de 50 €	2
Total			2 000

Dans les questions suivantes, les réponses seront données sous la forme d'une fraction irréductible.
Un billet est choisi au hasard parmi les 2 000 billets contrôlés.
On considère les événements suivants.
F : « Le billet choisi est falsifié » ;
C : « Le billet choisi est une coupure de 50 € » ;
V : « Le billet choisi est une coupure de 20 € ».

2. Définir par une phrase l'événement $V \cap F$ et calculer $p(V \cap F)$ .

3. Calculer la probabilité conditionnelle de F sachant C notée $p_{C}(F)$ .

4. Calculer p(F)

. Peut-on dire que les événements F et C sont indépendants ? Justifier la réponse.

Corrigé

1. On obtient :

	Billets falsifiés	Billets authentiques	Total
Coupure de 10 €	5 − 3 − 2 = 0	600	600
Coupure de 20 €	5 × 0,6 = 3	800 − 3 = 797	2 000 × 0,4 = 800
Coupure de 50 €	2	600 − 2 = 598	600
Total	5	2 000 − 5 = 1995	2 000

2. $V \cap F$ : « Le billet choisi est une coupure de 20 € falsifiée » et $p(V \cap F) = \frac{3}{2\,000}$ .

3. $p_C(F) = \frac{p(F\cap C)}{p(C)}=\frac{2}{600} = \frac{1}{300}$ .

4. $p(F) = \frac{5}{2\,000} = \frac{1}{400}$ .
Comme $p(F) \neq p_C(F)$ alors les événements F et C ne sont pas indépendants.