Évolution des ventes d'un produit

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Énoncé

L'évolution des ventes d'un produit fabriqué par une entreprise est donnée dans le tableau suivant :

Année	1999	2000	2001	2002
Rang de l'année	0	1	2	3
Ventes (en millions d'unités)	200	202	213	225

Année	2003	2004	2005	2006
Rang de l'année	4	5	6	7
Ventes (en millions d'unités)	233	241	247	252

Partie A

1. Représenter graphiquement le nuage de points $\mathrm{M}_{i}\,(x_{i}\,;\,y_{i})$ dans un repère orthogonal d'unités graphiques :
1 cm pour une année sur l'axe des abscisses ;
1 cm pour 10 millions sur l'axe des ordonnées (graduer l'axe des ordonnées à partir de 190).

2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points. Placer G dans le repère précédent.

On cherche à faire une prévision pour l'année 2009. Dans ce but, on propose deux modèles.

Partie B. Modèle affine

1. Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite D d'ajustement de y en x par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à l'unité).

2. Tracer cette droite dans le repère précédent.

Partie C. Modèle exponentiel

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 10] par : $f(x) = 199\mathrm{e}^{0,04x}$ .

1. Quel est le sens de variation de f sur l'intervalle [0 ; 10] ? Justifier la réponse.

2. Recopier et compléter le tableau ci-dessous (on arrondira à l'unité) :

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
f(x)			216

3. Tracer la courbe C représentative de la fonction f dans le repère précédent.

Partie D

Indiquer pour chacun des deux modèles, les prévisions que l'on peut effectuer sur le nombre de ventes du produit durant l'année 2009.

Corrigé

Partie A

1. Voir la représentation graphique ci-après.

2. Les coordonnées de G sont :
$\mathrm{G}\left(\frac{\sum{x_{i}}}{n}\,;\,\frac{\sum{y_{i}}}{n}\right)$
$\mathrm{G}\left(\frac{0+1+{\ldots}+7}{8}\,;\,\frac{200+202+{\ldots}+252}{8}\right)$
G (3,5 ; 226,625).

Partie B. Modèle affine

1. On écrit en Liste 1 les valeurs de x_i et en Liste 2 les valeurs de y_i. En appliquant la fonction Linreg(ax + b), on obtient :
y = 8x + 198

Tableau de valeurs :

x	0	10
	198	278

Représentation graphique :

Zoom

Partie C. Modèle exponentiel

1. On calcule la dérivée de f pour tout x de [0 ; 10] :
$f'(x) = 199 \times 0,04\mathrm{e}^{0,04x}$
$f'(x) = 7,96\mathrm{e}^{0,04x}$ .
Comme l'exponentielle est strictement positive, la dérivée f' est strictement positive et la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 10].

2. Tableau de valeurs :

x	0	1	2	3	4	5
f(x)	199	207	216	224	234	243

x	6	7	8	9	10
	253	263	274	285	297

3. Voir la représentation graphique précédente.

Partie D

Le rang de l'année 2009 est x = 2009 - 1999 = 10

.
D'après le tableau de valeurs de la partie B, le modèle affine permet d'espérer 278 millions de ventes pour 2009.
D'après le tableau de valeurs de la partie C, le modèle exponentiel permet d'en espérer 297 millions.