Proportions, pourcentages et indices

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Tests

Les restaurateurs souhaitent voir baisser le taux de TVA qui leur est appliqué… L'Éducation nationale a pour objectif de faire parvenir 80 % d'une classe d'âge au niveau du baccalauréat… Les consommateurs suivent attentivement l'évolution de l'indice des prix à la consommation…
Pourcentages et indices font partie de notre vie quotidienne. Comprendre leur fonctionnement nous aide à mieux appréhender le monde qui nous entoure.

1. Comment calculer une proportion ?

La proportion d'une sous-population d'effectif m, dans une population d'effectif n, est donnée par la formule :
$f=\frac{m}{n}$ .

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En multipliant le quotient obtenu par 100, on exprime cette proportion en pourcentage.
Exercice n°1

2. Comment calculer un taux d'évolution ?

Le taux d'évolution d'une quantité évoluant de la valeur V₀ à la valeur V₁, est donné par la formule : $t=\frac{V_{1}-V_{0}}{V_{0}}\times{100}$ .

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Lorsque V₁ est supérieur à V₀ : il s'agit d'une hausse, t est alors positif.
Lorsque V₁ est inférieur à V₀ : il s'agit d'une baisse, t est alors négatif.

Exercice n°2

3. Comment calculer directement la valeur acquise par une quantité après une hausse ou une baisse en pourcentage ?

Pour augmenter de t %, on multiplie par le coefficient :
$c=(1+\frac{t}{100}).$
Pour diminuer de t %, on multiplie par le coefficient :
$c=(1-\frac{t}{100})$ .
Lorsque le taux t est proche de 0, on peut utiliser les formules d'approximation suivantes :
$(1+t)^{2}\approx{1}+2t$ ;
$\frac{1}{1+t}\approx{1-t}$ ;
$\sqrt{1+t}\approx1+\frac{1}{2}t$ .

Dans le cas d'évolutions successives de coefficients multiplicateurs c et c', le pourcentage global d'évolution est donné par le coefficient c_G tel que :
c_G = c × c'.
On en déduit le taux t_G correspondant en soustrayant 1 et en multipliant par 100 :
t_G = (c_G − 1) × 100.
Exercice n°3

4. Qu'est-ce que le taux moyen ?

Le taux moyen de deux évolution successives, de coefficients multiplicateurs c et c', correspond à un coefficient multiplicateur c_M défini par :
$c_\mathrm{M}=\sqrt{c\times{c^{\prime}}}$ .
Le taux moyen t_M est alors calculé en soustrayant 1 et en multipliant par 100 :
t_M = (c_M − 1) × 100.
Si t_M est négatif, il s'agit d'une baisse, si t_M est positif, il s'agit d'une hausse.
Exercice n°4

5. Quand dit-on que deux taux sont réciproques ?

Deux taux sont réciproques lorsque le produit de leurs coefficients multiplicateurs c et c' vérifie :
c × c' = 1.
Une augmentation de t % doit être suivie d'une diminution de t' % telle que :
$t^{\prime}=\frac{100}{1+\frac{100}{t}}$ .
Une diminution de t % doit être suivie d'une augmentation de t' % telle que :
$t^{\prime}=\frac{100}{\frac{100}{t}-1}$ .
Exercice n°5

6. Comment calculer ou interpréter un indice ?

Si un prix P₀ à l'époque t₀ passe à une valeur P₁ à l'époque t₁, son indice à l'époque t₁, pour une base 100 à l'époque t₀, sera :
$I_{1/0}=\frac{P_{1}}{P_{0}}\times{100}$ .

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Exercice n°6

7. Qu'est-ce que la TVA ?

La taxe à la valeur ajoutée est un impôt indirect sur la consommation. Son taux normal est de 19,6 %. Son taux réduit est de 5,5 %.
Le prix hors taxes (HT) est le prix sans la TVA. Le prix toutes taxes comprises (TTC) est le prix de vente TVA incluse.
Exercice n°7

À retenir

Pour calculer le taux de variation t d'une quantité, il faut diviser sa variation absolue V₁ − V₀ par sa valeur initiale V₀ :
$t=\frac{V_{1}-V_{0}}{V_{0}}\times{100}$ .
S'il y a plusieurs variations successives, on ne calcule pas à chaque fois la hausse ou la baisse. On multiplie par (1 + $\frac{t}{100}$ ) dans le cas d'une hausse de t %, ou par (1 − $\frac{t}{100}$ ) dans le cas d'une baisse de t %.
Pour calculer un indice, on fixe la valeur initiale de l'indice à 100. La valeur finale est alors donnée par la formule :
$t=\frac{V_{1}}{V_{0}}\times{100}$ .