Exposants réels

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Pour connaître la valeur marchande d'un matériel, dont la cote baisse régulièrement de 2 % par an, il faut multiplier son prix initial par 0,98^x, où x désigne le nombre d'années écoulées depuis son acquisition. La variable x peut désigner des fractions d'années, donc n'est pas nécessairement un nombre entier.
Ainsi apparaissent des cas pratiques de puissances à exposants réels. Leurs propriétés sont identiques à celles des exposants entiers vues au collège.

1. Quelles sont les égalités à connaître ?

Pour a et b, nombres réels strictement positifs, on peut généraliser les propriétés des puissances avec des exposants entiers à des exposants x et y, nombres réels quelconques.

Une puissance de 1 est toujours égale à 1 : 1^x = 1
Pour multiplier deux puissances d'un même nombre, on ajoute les exposants : a^x × a^y = a^{x + y}.
Prendre l'inverse d'une puissance, c'est transformer l'exposant en son opposé : $\frac{1}{a^{x}}=a^{-x}$ .
Pour effectuer le quotient de deux puissances d'un même nombre, on soustrait les exposants : $\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}$ .
Pour élever une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants : $(a^{x})^{y}=a^{x\times{y}}$ .
Pour élever un produit de facteurs à une puissance, on élève chaque facteur à cette puissance : (a × b)^x = a^x × b^x.
Pour élever un quotient à une puissance, on élève chaque facteur à cette puissance : $(\frac{a}{b})^{x}=\frac{a^{x}}{b^{x}}$ .

Exercice n°1

2. Comment résoudre une équation de la forme yⁿ = a ?

Soient a un nombre réel positif et n un nombre entier positif.
Si $y^{n}=a$ , alors $(y^{n})^{\frac{1}{n}}=(a)^{\frac{1}{n}}$ , d'où : $y=a^{\frac{1}{n}}$ .
Pour n = 2, élever a à la puissance $\frac{1}{2}$ équivaut à extraire la racine carré.
Plus généralement, élever à la puissance $\frac{1}{n}$ équivaut à extraire la racine n-ième.
Exercice n°2

3. Comment calculer le taux d'évolution moyen d'une grandeur sur n années ?

Supposons qu'une quantité varie sur n années de différents taux, soit à la hausse, soit à la baisse. Le taux d'évolution moyen est alors le taux unique t qui, répété n fois, fournirait le même taux global t_G.
On a donc l'égalité : (1 + t)ⁿ = 1 + t_G, d'où : $1+t=(1+t_\mathrm{G})^{\frac{1}{n}}$ .
Exercice n°3

4. Comment résoudre une inéquation de la forme a^x k ?

Soient a et k deux nombres réels strictement positifs et x est un nombre réel quelconque.
Si a^x inférieur ou égal

k, on a x ln a inférieur ou égal

ln k, alors :

pour 0 < a < 1, on en déduit : $x\geq{\frac{\ln\,k}{\ln\,a}}$ ;
pour a > 1, on en déduit : $x\leq{\frac{\ln\,k}{\ln\,a}}$ .

Exercice n°4

5. Comment déterminer la limite d'une suite géométrique de termes positifs ?

Une suite géométrique (U_n) de termes positifs tend vers 0 lorsque, pour tout nombre réel positif aussi petit que l'on veut, on peut toujours trouver un terme de la suite qui lui soit inférieur.
Plus directement, une suite géométrique a pour limite 0 en $+\,\infty$ , lorsque sa raison est comprise entre 0 et 1.
On note : $\mathop {\lim}\limits_{x \to +\infty }U_{n}=0$ .
Une suite géométrique (U_n) de termes positifs tend vers $+\,\infty$ lorsque, pour tout nombre réel positif aussi grand que l'on veut, on peut toujours trouver un terme de la suite qui lui soit supérieur.
Plus directement, une suite géométrique a pour limite $+ \infty$ en $+ \infty$ lorsque sa raison est supérieure à 1.
On note : $\mathop {\lim}\limits_{x \to +\infty }U_{n}=+\infty$ .
Exercice n°5

À retenir

Les propriétés sont les mêmes pour les exposants réels ou entiers :
a^x × a^y = a^{x + y} ; $\frac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}$ ; (a^x)^y = $a^{x\times{y}}$ ; (a × b)^x = a^x × b^x.
Si yⁿ = a, alors $(y^{n})^{\frac{1}{n}}\,=\,(a)^{\frac{1}{n}}$ , d'où : $y = a^{\frac{1}{n}}$ .
Si a^x inférieur ou égal

k et 0 < a inférieur ou égal

1, alors $x\ge\frac{\ln k}{\ln a}$ ; si a^x inférieur ou égal

k et a > 1, alors : $x\le{\frac{\ln k}{\ln a}}$ .
Si (U_n) est une suite géométrique de raison comprise entre 0 et 1, alors $\mathop {\lim} \limits_{n \to +\infty }U_{n}=0$ .
Si sa raison est supérieure à 1, alors $\mathop {\lim}\limits_{n \to +\infty }U_{n}=+\infty$ .