Exercice 3

Énoncé

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.
1. Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher : 7 sont blanches et 3 sont noires. On tire simultanément 3 boules de l'urne. La probabilité de tirer 2 boules blanches et 1 boule noire est égale à :
\frac{21}{40}.
\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{1}{3}.
\frac{7}{10} \times \frac{7}{10} \times \frac{1}{3}.
2. De la même urne, on tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs avec remise. La probabilité d'avoir obtenu 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à :
\frac{3^{3} \times 7^{2}}{10^{5}}.
{5\choose 2} \times \left(\frac{3}{10}\right)^{2} \times \left(\frac{7}{10}\right)^{3}.
{5\choose 2} \times \left(\frac{3}{10}\right)^{3} \times \left(\frac{7}{10}\right)^{2}.
3. 
De la même urne, on tire une seule boule. Si elle est blanche, on lance un dé cubique (dont les faces sont numérotées de 1 à 6). Si la boule est noire, on lance un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). On suppose les dés bien équilibrés. Le joueur gagne s'il obtient le numéro 1.
Sachant que le joueur a gagné, la probabilité qu'il ait tiré une boule blanche est égale à :
\frac{7}{60}.
\frac{14}{23}.
\frac{\frac{7}{10} \times \frac{1}{6}}{\frac{1}{2} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4}}.
4. On note X une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre \lambda (\lambda étant un nombre réel strictement positif). La probabilité de l'événement [1 inférieur ou égal X inférieur ou égal 3] est égale à :
\mathrm{e}^{-\lambda} - \mathrm{e}^{-3\lambda}.
\mathrm{e}^{-3\lambda} - \mathrm{e}^{-\lambda}.
\frac{\mathrm{e}^{\lambda}}{\mathrm{e}^{-3\lambda}}.

Corrigé

1. Les boules sont indiscernables au toucher, on est donc dans une situation d'équiprobabilité.
On tire simultanément 3 boules de l'urne qui en contient 10, il y a donc {10\choose 3} issues possibles.
Il y a {7\choose 2} manières de tirer 2 boules blanches parmi les 7 présentes dans l'urne.
Il y a {3\choose 1} manières de tirer 1 boule noire parmi les 3 présentes dans l'urne.
Pour calculer la probabilité cherchée on utilise la formule de Laplace : \frac{\textrm{Nombre d'issues favorables}}{\textrm{Nombre d'issues possibles}}.
D'où : \frac{{7\choose 2}\times {3\choose 1}}{{10\choose 3}}=\frac{21}{40}.
La réponse est donc : \frac{21}{40}.
2. On fait 5 tirages successifs avec remise, on répète 5 fois la même expérience de façon indépendante avec deux issues possibles :
  • la boule est blanche avec une probabilité égale à \frac{7}{10} ;
  • la boule est noire avec une probabilité égale à \frac{3}{10}.
La variable aléatoire X qui correspond au nombre de boules blanches tirée suit une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = \frac{7}{10}.
La probabilité d'obtenir 3 boules noires et 2 boules blanches est égale à :
p(X=2)={5\choose 2}\times\left(\frac{7}{10}\right)^{2}\times \left(1-\frac{7}{10}\right)^{5-2}.
D'où : p(X=2)={5\choose 2}\times\left(\frac{7}{10}\right)^{2}\times \left(\frac{3}{10}\right)^{3}.
3. 
On note :
  • B l'événement : « la boule tirée est blanche » ;
  • N l'événement : « la boule tirée est noire » ;
  • G l'événement : « le joueur gagne » ;
  • P l'événement : « le joueur perd ».
On peut représenter la situation par un arbre pondéré :
D'après la formule des probabilités totales, on a :
p(G)=p(B\cap G)+p(N\cap G)=p(B)\times p_{B}(G)+p(N)\times p_{N}(G)
D'où p(G)=\frac{7}{10}\times \frac{1}{6}+\frac{3}{10}\times \frac{1}{4}=\frac{23}{120}.
On cherche la probabilité que le joueur ait tiré une boule blanche sachant qu'il a gagné.
C'est-à-dire : p_{G}(B)=\frac{p(B\cap G)}{p(G)}=\frac{\frac{7}{60}}{\frac{23}{120}}=\frac{14}{23}.
4.  p(1\leq X\leq 3)= \int_{1}^{3}\!\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}\, dx=\Bigl[-\mathrm{e}^{-\lambda x}\Bigr]_{1}^{3}
p(1\leq X\leq 3)=-\mathrm{e}^{-3\lambda}+\mathrm{e}^{-\lambda}=\mathrm{e}^{-\lambda}-\mathrm{e}^{-3\lambda}.