On dote les élèves d'outils mathématiques permettant de traiter des problèmes relevant de la modélisation de phénomènes continus ou discrets. Cette partie est organisée selon trois objectifs principaux :

• consolider l'ensemble des fonctions mobilisables. On enrichit cet ensemble de nouvelles fonctions de référence : les fonctions cosinus, sinus et valeur absolue. L'emploi régulier de notations variées sur les fonctions est indispensable, notamment pour aider les élèves à faire le lien avec les autres disciplines. - Exploiter l'outil « dérivation ». L'acquisition du concept de dérivée est un point fondamental du programme de première. Les fonctions étudiées sont toutes régulières. Le calcul de dérivées dans des cas simples est un attendu du programme ; dans le cas de situations plus complexes, on sollicite les logiciels de calcul formel.
• découvrir la notion de suite. L'étude de phénomènes discrets fournit un moyen d'introduire les suites et leurs modes de génération en s'appuyant sur des registres différents (algébrique, graphique, numérique, géométrique) et en faisant largement appel à des logiciels. Inversement, les suites sont un outil efficace de modélisation de phénomènes discrets. Les interrogations sur leur comportement amènent à une première approche de la notion de limite qui sera développée en classe de terminale. L'étude des suites se prête tout particulièrement à la mise en place d'activités algorithmiques.

L'accent est mis sur les représentations graphiques dont un décodage pertinent, relié aux enseignements des autres disciplines, contribue à l'appropriation des concepts mathématiques.

Contenus et capacités attendues

Second degré :

• équation du second degré, discriminant. Mobiliser les résultats sur le second degré dans le cadre de la résolution d'un problème ;
• signe du trinôme.

Fonctions circulaires :

• éléments de trigonométrie : cercle trigonométrique, radian, mesure d'un angle orienté, mesure principale. Utiliser le cercle trigonométrique, notamment pour déterminer les cosinus et sinus d'angles associés ; résoudre dans les équations d'inconnues t : cos t = cos a et sin t = sin a ;
• fonctions de référence : et . Connaître la représentation graphique et certaines propriétés de ces fonctions, notamment parité et périodicité.

Études de fonctions :

• fonctions de référence : . Connaître les variations de cette fonction et sa représentation graphique ;
• représentation graphique des fonctions u + k, et , la fonction u étant connue, k étant une fonction constante et un réel. Obtenir la représentation graphique de ces fonctions à partir de celle de u.

Dérivation :

• nombre dérivé d'une fonction en un point ;
• tangente à la courbe représentative d'une fonction en un point où elle est dérivable. Tracer une tangente connaissant le nombre dérivé ;
• fonction dérivée ;
• dérivée des fonctions usuelles , (n entier naturel non nul), x = cos x et sin x = sin x. Calculer la dérivée de fonctions ;
• dérivée d'une somme, d'un produit et d'un quotient. Calculer la dérivée de fonctions ;
• dérivée de t = cos() et t = sin(), et étant réels ;
• lien entre signe de la dérivée et sens de variation. Exploiter le tableau de variation d'une fonction f pour obtenir un éventuel extremum de f, le signe de f, le nombre de solutions d'une équation du type f(x) = k.

Suites :

• modes de génération d'une suite numérique. Modéliser et étudier une situation simple à l'aide de suites. Mettre en oeuvre un algorithme permettant de calculer un terme de rang donné. Exploiter une représentation graphique des termes d'une suite ;
• suites géométriques. Écrire le terme général d'une suite géométrique définie par son premier terme et sa raison ;
• approche de la notion de limite d'une suite à partir d'exemples.

On apporte aux élèves des outils efficaces dans la résolution de problèmes spécifiques rencontrés dans les enseignements scientifiques et technologiques. Cette partie est organisée selon deux objectifs principaux :

• exploiter l'outil « produit scalaire ». On travaille avec des vecteurs dans des plans repérés ou non et on privilégie des décompositions selon des axes orthogonaux. Il importe que les élèves sachent choisir la forme du produit scalaire la mieux adaptée au problème envisagé. Les problèmes traités sont plans mais on peut avantageusement exploiter des situations de l'espace issues de disciplines scientifiques et technologiques.
• découvrir les nombres complexes. Ils sont introduits dès la classe de première pour permettre leur utilisation dans certaines spécialités. Le développement des activités à ce sujet s'adapte aux besoins des enseignements scientifiques ou technologiques.

Contenus et capacités attendues

Produit scalaire dans le plan :

• projection orthogonale d'un vecteur sur un axe. Décomposer un vecteur selon deux axes orthogonaux et exploiter une telle décomposition ;
• définition et propriétés du produit scalaire de deux vecteurs dans le plan. Calculer le produit scalaire de deux vecteurs par différentes méthodes : projection orthogonale, analytiquement, à l'aide des normes et d'un angle. Choisir la méthode la plus adaptée en vue de la résolution d'un problème ;
• applications du produit scalaire. Calculer des angles et des longueurs.

Nombres complexes :

• forme algébrique : somme, produit, quotient, conjugué. Effectuer des calculs algébriques avec des nombres complexes ;
• représentation géométrique. Affixe d'un point, d'un vecteur. Représenter un nombre complexe par un point ou un vecteur. Déterminer l'affixe d'un point ou d'un vecteur ;
• forme trigonométrique : module et argument. Interprétation géométrique. Passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement.

Le travail sur les séries statistiques et les probabilités mené en classe de seconde se poursuit avec la mise en place de nouveaux outils. Les sciences et techniques industrielles et du laboratoire fournissent un large éventail de sujets d'étude. Cette partie est organisée selon trois objectifs principaux :

• affiner l'analyse de séries statistiques. On enrichit les outils de mesure de la dispersion par l'introduction de l'écart type. On fait réfléchir les élèves sur des données réelles, riches et variées.
• mettre en place la loi binomiale. On s'appuie sur l'expérimentation et la simulation pour étudier le schéma de Bernoulli. On introduit la notion de variable aléatoire et on installe la loi binomiale dont les utilisations sont nombreuses dans les domaines technologiques.
• expérimenter la notion de différence significative par rapport à une proportion attendue. L'acquisition de la loi binomiale permet de poursuivre la formation des élèves dans le domaine de l'échantillonnage et des procédures de prise de décision en contexte aléatoire. On fait remarquer.

Contenus et capacités attendues

Statistique descriptive, analyse de données :

• caractéristiques de dispersion : variance, écart type. Utiliser de façon appropriée les deux couples usuels qui permettent de résumer une série statistique : moyenne, écart type et médiane, écart interquartile. Étudier une série statistique ou mener une comparaison pertinente de deux séries statistiques à l'aide d'un logiciel ou d'une calculatrice.

Probabilités :

• schéma de Bernoulli. Représenter un schéma de Bernoulli par un arbre pondéré. Simuler un schéma de Bernoulli ;
• variable aléatoire associée au nombre de succès dans un schéma de Bernoulli ;
• loi binomiale. Reconnaître des situations relevant de la loi binomiale. Calculer une probabilité dans le cadre de la loi binomiale à l'aide de la calculatrice ou du tableur. Représenter graphiquement la loi binomiale ;
• espérance, variance et écart type de la loi binomiale. Interpréter l'espérance comme valeur moyenne dans le cas d'un grand nombre de répétitions.

Échantillonnage :

• utilisation de la loi binomiale pour une prise de décision à partir d'une fréquence observée sur un échantillon. Déterminer à l'aide de la loi binomiale un intervalle de fluctuation, à environ 95 %, d'une fréquence. Exploiter un tel intervalle pour rejeter ou non une hypothèse sur une proportion.

En seconde, les élèves ont conçu et mis en œuvre quelques algorithmes. Cette formation se poursuit tout au long du cycle terminal.
Dans le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sont entraînés à :

• décrire certains algorithmes en langage naturel ou dans un langage symbolique ;
• en réaliser quelques-uns à l'aide d'un tableur ou d'un programme sur calculatrice ou avec un logiciel adapté ;
• interpréter des algorithmes plus complexes.

Aucun langage, aucun logiciel n'est imposé.
L'algorithmique a une place naturelle dans tous les champs des mathématiques et les problèmes posés doivent être en relation avec les autres parties du programme (algèbre et analyse, statistiques et probabilités, logique), mais aussi avec les autres disciplines ou le traitement de problèmes concrets.
À l'occasion de l'écriture d'algorithmes et de programmes, il convient de donner aux élèves de bonnes habitudes de rigueur et de les entraîner aux pratiques systématiques de vérification et de contrôle.

Cette rubrique, consacrée à l'apprentissage des notations mathématiques et à la logique, ne doit pas faire l'objet de séances de cours spécifiques mais doit être répartie sur toute l'année scolaire.