Dérivation

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Tests

Un tableau de valeurs ne permet pas de connaître à coup sûr le sens de variation d'une fonction. Un extremum peut toujours se glisser entre deux valeurs, aussi proches soient-elles. La notion de dérivée permet de déterminer très précisément s'il existe un minimum ou un maximum.
Les applications pratiques sont nombreuses : pour une production, on peut déterminer le coût minimal ou le bénéfice maximal ; pour un volume donné, on peut rechercher les dimensions correspondant à une masse minimale, etc.
Les phénomènes ondulatoires se modélisent par des fonctions trigonométriques de la forme $x\rightarrow\cos(\omega{x}+\phi)$ ou $x\rightarrow\sin(\omega{x}+\phi)$ . Les dérivées de ces fonctions sont à connaître.

1. Qu'est-ce qu'un nombre dérivé ? Comment déterminer l'équation réduite de la tangente en un point à une courbe ?

Nombre dérivé

Soit A(a ; f(a)) et M(a+h ; f(a+h)) deux points de la courbe Cf représentative de la fonction f. Si, lorsque h tend vers 0, $\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=m$ alors m est le nombre dérivé de la fonction f pour x = a. On note f'(a) = m.
m est alors le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cf au point A.

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Équation réduite de la tangente

L'équation d'une tangente est de la forme y = ax + b. Or Le point A(a ; f(a)) appartient à cette droite. On peut donc écrire :
f(a)=f'(a)a+b

, d'où

,
alors

.
Exercice n°1

2. Qu'est-ce qu'une fonction dérivée ? Quelles sont les dérivées des fonctions de référence ?

Définition

La fonction dérivée indique le nombre dérivé, s'il existe, pour toute valeur de l'ensemble de définition de la fonction donnée.
Fonctions dérivées à connaître :

fonction constante : si alors ;
fonction affine : si alors ;
fonction puissance : si alors $f'(x)=nx^{n-1}$ $n\in\mathbb{Q}$ ;
fonction inverse : si $f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$ alors $f'(x)=x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$ ;
fonction racine : si $f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ alors $f'(x)=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Exercice n°2 Exercice n°3

3. Quelle est la dérivée d'une somme ? d'un produit ? d'une fonction composée ?

Dérivée d'une somme

.
Exemple pour une fonction polynôme : si f(x)=3x^2+4x-5

alors $f'(x)=3\times2x+4-0=6x+4$ .

Dérivée d'un produit

$(f\times{g})'=f'\times{g}+f\times{g'}$ .
Vérification pour $h(x)=x^5=x^2\times{x}^3$ :
h'(x)=5x^4

;
si

alors

;
d'où $h'(x)=2x\times{x}^3+x^2\times{3x^2}=2x^4+3x^4=5x^4$ .

Dérivée d'une fonction composée

$[f(u)]'=f'(u)\times{u'}$ .
Vérification pour k(x)=9x^2+6x+1=(3x+1)^2

:
$k'(x)=9\times2x+6+0=18x+6$ ;
si u(x)=3x+1

alors

;
d'où $k'(x)=2(3x+1)\times3=6(3x+1)=18x+6$ .
Exercice n°4

4. Comment dresser le tableau de variation d'une fonction à partir du signe de sa dérivée ?

En chaque point d'une représentation graphique la courbe est adossée à sa tangente. Si son coefficient directeur est négatif, la fonction est décroissante, s'il est positif, la fonction est croissante, s'il est nul la fonction est constante.
Donc si f'(x)<0

sur un intervalle [a ; b], la fonction f est strictement décroissante sur cet intervalle ;
si f'(x)>0

alors f est strictement croissante ;
si f'(x)=0

alors f est constante.

5. Quelles sont les dérivées des fonctions $x\rightarrow\cos(\omega{x}+\phi)$ et $x\rightarrow\sin(\omega{x}+\phi)$ ?

Si $f(x)=\cos{x}$ alors $f'(x)=-\sin{x}$ .
Donc, en utilisant la formule de la dérivée des fonctions composées, on obtient : $(\cos(\omega{x}+\phi))'=-\omega\times\sin(\omega{x}+\phi)$ .
Si $g(x)=\sin{x}$ alors $g'(x)=\cos{x}$ .
Donc, en utilisant la formule de la dérivée des fonctions composées, on obtient : $(\sin(\omega{x}+\phi))'=\omega\times\cos(\omega{x}+\phi)$ .
Exercice n°5

À retenir

Le nombre dérivé d'une fonction f, pour une valeur x₀ de son ensemble de définition, est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe au point (x₀ ; f(x₀)). Lorsqu'il existe pour toute valeur de son ensemble de définition, la fonction est dite « dérivable sur cet ensemble ».
La fonction dérivée indique le nombre dérivé.
Fonctions dérivées à connaître : ; $(x^n)'=nx^{n-1}$ , $(n\in\mathbb{Q})$ ; $(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}$ , $(x\neq0)$ . ; $(f\times{g})'=f'\times{g}+f\times{g'}$ ; $[f(u)]'=f'(u)\times{u'}$ .
Le signe de la dérivée détermine le sens de variation de la fonction. S'il est négatif, la fonction est décroissante, s'il est positif, elle est croissante et s'il est nul, elle est constante. $(\cos(\omega{x}+\phi))'=-\omega\sin(\omega{x}+\phi)$ et $(\sin(\omega{x}+\phi))'=\omega\cos(\omega{x}+\phi)$ .